Cách Chứng Minh Hai Tam Giác Đồng Dạng
Tam giác đồng dạng là gì? Cách chứng minh tam giác đồng dạng như nào? Lý thuyết, bài tập và cách giải các dạng toán về hai tam giác đồng dạng? Trong phạm vi bài viết dưới đây, cùng pgdtxhoangmai.edu.vn tìm hiểu về chủ đề trên nhé!
Lý thuyết hai tam giác cùng đồng dạng
Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
Hai tam giác đồng dạng là gì? “Đồng dạng” là từ Hán Việt và vốn có nghĩa là giống nhau. Hai tam giác đồng dạng với nhau khi chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Bạn đang xem: Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với nhau nếu: \(\hat{A}=\hat{A’}; \hat{B}=\hat{B’};\hat{C}=\hat{C’}\)
và \(\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}\)
Kí hiệu hai tam giác đồng dạng: \(\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A’B’C’\)
Tỉ số: \(\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}=k\) được gọi là tỉ số đồng dạng.
Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường
Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau (c – c – c).Xét hai tam giác ABC và DEF có:
\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\)
Suy ra: \(\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF\) (c – c – c)
Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c).Xem thêm: Khi Chia Một Số Tự Nhiên Có 4 Chữ Số, Tìm Số Tự Nhiên Có 4 Chữ Số
Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có:
\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)
\(\hat{A}=\hat{D}\)
Suy ra: \(\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF\) (c – g – c)
Trường hợp 3: Hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)Xét hai tam giác ABC và DEF có:
\(\hat{A}=\hat{D}\)
\(\hat{B}=\hat{E}\)
Suy ra: \(\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF\) (g – g)
Các định lý đồng dạng của tam giác vuông
Định lý 1: Cạnh huyền – Cạnh góc vuôngNếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Định lý 2: Hai cạnh góc vuôngNếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Định lý 3: Góc của hai tam giác vuôngNếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Xem thêm: Giải Bài Tập Công Dân 9 Bài 3 Trang 11 Sgk Gdcd 9, Gdcd 9 Bài 3 Ngắn Nhất: Dân Chủ Và Kỷ Luật
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức
Bài toán: Cho \(\bigtriangleup ABC (AB
a) \(\bigtriangleup ADB \sim \bigtriangleup CDI\)b) \(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\)c) AD2 = AB.AC – BD.DCCách giải:
a) Xét \(\bigtriangleup ADB\) và \(\bigtriangleup CDI\) , ta có:
\(\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\) (gt)
\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\bigtriangleup ADB \sim \bigtriangleup CDI\)
b) Xét \(\bigtriangleup ABD\) và \(\bigtriangleup AIC\) , ta có :
\(\widehat{B}=\widehat{I}\) (\(\bigtriangleup ADB \sim \bigtriangleup CDI\))
\(\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\)(AD là phân giác)
Suy ra \(\bigtriangleup ABD\sim \bigtriangleup AIC\)
Suy ra \(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\), suy ra AD.AI = AB.AC (1)
c) Có \(\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{BI}\) \(\bigtriangleup ADB \sim \bigtriangleup CDI\)
Suy ra: AD.DI = BD.CD (2)
từ (1) và (2) :
Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song
Bài toán:
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của tam giác ADE. Chứng minh:
a) \(\bigtriangleup ADB \sim \bigtriangleup AEG\)b) AD.AE = AB.AG = AC.AFc) FG // BCCách giải:
a) Xét tam giác ABD và AEG, ta có :
BD AC (BD là đường cao)
EG AC (EG là đường cao)
Suy ra: BD // EG
Suy ra: \(\bigtriangleup ADB \sim \bigtriangleup AEG\)
b) Từ a) Suy ra\(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AG}\)
\(\Rightarrow\) AD.AE = AB.AG (1)
CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF
c) Xét tam giác ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: \(\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AG}\)
Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau
Bài toán: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) Tam giác HBE và tam giác HCE đồng dạng.b) \(\bigtriangleup HED\sim \bigtriangleup HBC\)và \(\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\)
Cách giải:
a) Xét tam giác HBE và tam giác HCD, ta có :
\(\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^{\circ}\) (gt)
\(\widehat{H_{1}}=\widehat{H_{2}}\) (đối đỉnh)
Suy ra: \(\bigtriangleup HBE\sim \bigtriangleup HCD\) (g – g)
b) Xét tam giác HED và HBC, ta có :
\(\frac{HE}{HD}=\frac{HD}{HC}\) (\(\bigtriangleup HBE\sim \bigtriangleup HCD\))
Suy ra: \(\frac{HE}{HD}=\frac{HD}{HC}\)
\(\widehat{EHD}=\widehat{CHB}\)(đối đỉnh)
Suy ra \(\bigtriangleup HED\sim \bigtriangleup HBC\)(c – g – c)
Suy ra: \(\widehat{D_{1}}=\widehat{C_{1}}\)(1)
mà còn có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)
Do đó H là trực tâm, suy ra \(AH\perp BC\) tại M.
Suy ra\(\widehat{A_{1}}+\widehat{ABC}=90^{\circ}\)
Mặt khác : \(\widehat{C_{1}}+\widehat{ABC}=90^{\circ}\)
Suy ra: \(\widehat{A_{1}}=\widehat{C_{1}}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{A_{1}}=\widehat{D_{1}}\)
hay: \(\widehat{HDE}=\widehat{HAE}\)
Trên đây là tổng hợp những kiến thức về chủ đề hai tam giác đồng dạng. Hy vọng đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích phục vụ cho quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!
