Bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Giới hạn hàm số xuất xắc thường Điện thoại tư vấn là số lượng giới hạn của hàm số – Là kỹ năng quan trọng của toán 11 ở trong bậc THPT. Để học tốt phần này bạn cần nắm rõ kim chỉ nan, biết phương pháp vận dụng linch hoạt những dạng vào giải bài tập.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11

1. Lý ttiết số lượng giới hạn hàm số

1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): Giả sử (a; b) là một khoảng chừng cất điểm x0 cùng y = f (x) là 1 hàm số xác định trên một khoảng (a; b), có thể trừ tại 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) gồm giới hạn là số thực L Lúc x dần dần đến x0 (hoặc trên điểm x0 ) trường hợp với mọi dãy số (xn) trong tập vừa lòng (a; b) x0 nhưng lyên xn = x0 ta đều sở hữu llặng f (xn) = L khi kia ta viết: $mathop lyên ổn limits_x khổng lồ x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L lúc x → x0

Từ có mang, ta tất cả những kết quả:

$mathop lyên ổn limits_x o lớn x_0 c$ = c, với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) khẳng định trên điểm x0 thì $mathop llặng limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): Giả sử (a; b) là một trong khoảng đựng điểm x0 và y = f (x) là 1 hàm số xác minh trên một khoảng chừng (a; b), rất có thể trừ ở một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) gồm giới hạn là vô rất Khi x dần dần mang đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) trường hợp với tất cả dãy số (xn) vào tập hòa hợp (a; b) x0 nhưng lim xn = x0

ta đều sở hữu limf(xn)= ±∞

Khi kia ta viết: $mathop lyên ổn limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ khi x → x0

1.2 Giới hạn của hàm số trên vô cực

Định nghĩa 3. Giả sử hàm số y = f (x) khẳng định trên khoảng chừng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) gồm số lượng giới hạn là số thực L lúc x dần dần cho +∞ giả dụ với đa số hàng số (xn) vào tập phù hợp (a; +∞) mà lại lim xn = +∞

ta đều phải có lim f (xn) = L

1.3 Một số định lý về giới hạn hữu hạn

Sau đó là 3 định lý đặc biệt quan trọng về giới hạn hữu hạn hàm số

1.4 Giới hạn một bên

Đề tìm kiếm số lượng giới hạn bên đề nghị tuyệt số lượng giới hạn phía trái của hàm số f(x), ta nhờ vào định hướng quan trọng đặc biệt sau

1.5 Một số luật lệ tra cứu giới hạn vô cực

Sau đó là 2 Quy tắc đặc biệt đề search số lượng giới hạn vô rất bạn phải nhớ

1.6 Các dạng vô định

2. Phân dạng số lượng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng quan niệm giới hạn của hàm số tìm kiếm giới hạn

Sử dụng những quan niệm 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.

Xem thêm: Sinh Học 8 Bài 24: Tiêu Hóa Và Các Cơ Quan Tiêu Hóa Và Các Cơ Quan Tiêu Hóa

các bài luyện tập 1. Sử dụng quan niệm số lượng giới hạn hàm số, tìm kiếm các giới hạn sau: $mathop lyên limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải

Dạng 2. Chứng minch rằng $mathop lyên limits_x khổng lồ x_0 fleft( x ight)$ không tồn tại

Ta triển khai theo các bước sau:

Những bài tập 2: Tìm số lượng giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop llặng limits_x o + infty left( cos x ight)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Chọn nhì dãy số xn với yn với:

Dạng 3. Các định lí về giới hạn cùng giới hạn cơ phiên bản nhằm tìm kiếm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số phải tra cứu số lượng giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, tmùi hương của không ít hàm số nhưng mà ta sẽ biết số lượng giới hạn.

Xem thêm: Toán 9 Ôn Tập Chương 1 Hình Học Lớp 9, Giải Toán 9: Ôn Tập Chương I

Ta bao gồm tác dụng sau:

Cách 2: Sử dụng nguyên tắc kẹp thân, ví dụ Giả sử cần tính giới hạn hàm số $mathop llặng limits_x o lớn x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lyên ổn limits_x khổng lồ + infty fleft( x ight)$

ta thực hiện các bước sau:

bài tập 3: Tính các số lượng giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$

Lời giải

$mathop lyên limits_x lớn 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) xác minh tại điểm x0 thì số lượng giới hạn của nó Khi x → x0 có mức giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ có f(x0) ≠ 0 với g(x0) = 0 thì giới hạn của chính nó khi x → x0 có mức giá trị bởi ∞.Trong trường phù hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ gồm f(x0) = 0 (tức bao gồm dạng $frac00$)Chúng ta bắt buộc thực hiện các phép chuyển đổi đại số nhằm khử dạng $frac00$, với thông thường là làm cho xuất hiện nhân tử chung (x − x0)

Dạng 4. Tính số lượng giới hạn một mặt của hàm số

Sử dụng các định lí cùng với để ý sau:

x → $x_0^ + $; được hiểu là x → x0 và x > x0 ( khi đó |x − x0| = x − x0 ).x → $x_0^ – $; được hiểu là x → x0 cùng x 0 ( khi đó |x − x0| = x0 − x)

Những bài tập 4: Tìm các giới hạn một bên của các giới hạn sau:

a) $mathop lyên limits_x o 2^ + fracleftx – 2$

b) $mathop llặng limits_x khổng lồ 2^ – fracleftx – 2$

Lời giải

a) $mathop lyên limits_x lớn 2^ + frac 3x – 6 ightx – 2 = mathop llặng limits_x o lớn 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x lớn 2^ + 3 = 3$

b) $mathop lyên ổn limits_x o 2^ – fracleftx – 2 = mathop lyên ổn limits_x khổng lồ 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lyên limits_x lớn 2^ + left( – 3 ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, giả dụ hàm số f(x) không xác minh tại điểm x0 thì giới hạn một mặt của chính nó ko khác so với giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

các bài luyện tập 5. Cho hàm số

Tính $mathop lyên limits_x khổng lồ 0^ – fleft( x ight)$ với $mathop lyên limits_x khổng lồ 0^ + fleft( x ight)$

Lời giải

Dạng 6. Một vài qui tắc tính số lượng giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản hóa học của việc khử dạng ko xác minh $frac00$ là làm cho xuất hiện nhân tử bình thường để:

Hoặc là khử nhân tử phổ biến để đưa về dạng xác địnhHoặc là biến đổi về dạng số lượng giới hạn cơ bạn dạng, quen thuộc vẫn biết tác dụng hoặc biết cách giả

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối cùng với dạng 0.∞ và ∞0 ta lựa chọn 1 vào nhị bí quyết sau

Cách 1: Sử dụng phương pháp thay đổi để tận dụng tối đa những dạng số lượng giới hạn cơ bản

Cách 2: Sử dụng ngulặng lí kẹp giữa cùng với các bước

b) Đối cùng với dạng 1∞ cần ghi nhớ các số lượng giới hạn cơ bản sau $mathop lim limits_x o lớn 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop llặng limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$

Trên đây là bài viết chia sẻ biện pháp tra cứu số lượng giới hạn hàm số và các dạng bài bác tập thường gặp. Bài tới ta đang học tập về hàm số liên tục, new các bạn đón coi.

Mọi vướng mắc bạn sung sướng để lại bình luận dưới nhằm Toán thù học câu trả lời chi tiết hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả