Tính đơn điệu của hàm số lớp 12

  -  

Giả sử

*
là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số
*
xác định trên
*
được gọi là:

+ Đồng biến trên K nếu với mọi

*
là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng. Hàm số
*
liên tục và có đạo hàm trên khoảng
*
. Khi đó hàm số
*
:


Đồng biến trên
*
*
.

Bạn đang xem: Tính đơn điệu của hàm số lớp 12


Nghịch biến trên
*
*
.

Chú ý:

*
chỉ tại một số hữu hạn điểm.

3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

+ Tìm tập xác định.

+ Tính đạo hàm

*
. Tìm các điểm
*
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

+ Sắp xếp các điểm

*
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

B. Bài tập:

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm không chứa tham số

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

+ Tìm tập xác định.

+ Tính đạo hàm

*
. Tìm các điểm
*
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

+ Sắp xếp các điểm

*
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1.1: (Đề minh họa lần I – 2017).Hàm số

*
đồng biến trên khoảng nào?

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

TXĐ:

*
.

Ta có:

*

*

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; +

*
).Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 1.2: (Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2).Cho hàm số

*
. Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định đúng?

A.

*
nghịch biến trên
*
.

B.

*
nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

C.

*
đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

D.

*
đồng biến trên
*
.

Lời giải:

TXĐ:

*
.

Ta có:

*
0,\,\forall x\ne 1" />.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng

*
*
.Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 1.3 (Sở Giáo Dục Hà Nam 2017).Cho hàm số

*
. Mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên

*
.

B. Hàm số nghịch biến trên

*
.

C. Hàm số nghịch biến trên

*
.

D. Hàm số đồng biến trên

*
.

Lời giải:

TXĐ:

*
.

Ta có:

*

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1); (

*
;+∞) và nghịch biến trên khoảng (1;
*
)

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4:Hàm số nào sau đây đồng biến trên

*
?

A.

*

B.

*

C.

*

D.

*

Lời giải:

+ Xét hàm số

*
*
0,\forall x\ne -1" />. Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.⇒Loại đáp án A.

+ Xét hàm số

*
*

*

Phương trình

*
có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên
*
. Do đó chọn B.

+ Xét hàm số

*
*
. Phương trình
*
có hai nghiệm phân biệt nên hàm số không đồng biến trên
*
⇒Loại đáp án C.

+ Xét hàm số

*
*
0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}" />⇒Loại đáp án D.

Ví dụ 1.5:Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số nghịch biến trên

*
?

A. (I), (II) và (III). B. (II) và (III).

C. (I) và (III). D. (III) và (IV).

Lời giải:


Đồ thị hàm số (I) đồng biến trên các khoảng
*
và nghịch biến trên khoảng
*
.
Đồ thị hàm số (II) đồng biến trên
*
.
Đồ thị hàm số (III) nghịch biến
*
Hàm số nghịch biến trên khoảng
*
.
Đồ thị hàm số (IV) đồng biến trên các khoảng
*
và nghịch biến trên các khoảng
*
.Vậy chọn C.

Ví dụ 1.6:Quan sát đồ thị của hàm số

*
dưới đây và chọn đáp án đúng.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

*
.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

*
.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

*
.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

*
.

Xem thêm: Cách Giải Hệ Phương Trình Trong Hóa Học 9, Chuyên Đề 9

Lời giải:

Nhìn vào đồ thị suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

*
và nghịch biến trên các khoảng
*
.Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.7 (THPT Chuyên Thái Bình).Cho hàm số

*
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hàm số nghịch biến trên

*
.

B. Hàm số nghịch biến trên

*
.

C. Hàm số là hàm số lẻ.

D. Hàm số đồng biến trên

*
.

Lời giải:

TXĐ:

*
.

Ta có

*
0" />vì
*

Do đó hàm số đồng biến

*
.

Chọn D.

Ví dụ 1.8:Cho hàm số

*
xác định, liên tục trên
*
và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên

*
.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên

*
.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên

*
.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên

*
.

Lời giải:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đồng biến trên các khoảng

*
và nghịch biến trên khoảng
*
.

Hàm số gián đoạn tại điểm

*
nên hàm số không đồng biến trên khoảng
*
.

Vậy chọn D.

Ví dụ 1.9:Hàm số

*
nghịch biến trên:

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

TXĐ:

*
" />.

Ta có

*

*
.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên

*
.

Chọn A.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập xác định

Phương pháp:

Chú ý:Để giải bài toán này, ta thường sử dụng các tính chất sau:

Nếu

*
thế thì:

+

*
0\end{array} \right." />

+

*
B.
*
0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{{(m-1)}^{2}}-(m+2)\le 0\\1>0\end{array} \right.\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-9m+2\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{4}\le m\le 2" />

Vậy chọn đáp án D.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 3 – 2017).Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

*
nghịch biến trên khoảng
*
?

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3

Lời giải:

Tập xác định

*
.

Ta có

*

Hàm số nghịch biến trên khoảng

*
*
.

Nếu m = 1 thì

*
của
*
chứa tham số nên ta phải xét riêng trường hợp
*
.

Ví dụ 2.3 (THPT Mỹ Đức B Hà Nội – 2017 ).Cho hàm số

*
. Tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là

A.

*
hoặc
*

C.

*
nghịch biến trên từng khoảng xác định là khoảng
*
. Tính
*

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

TXĐ:

*
.

Ta có

*

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

*
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

TXĐ:

*
.

Ta có

*

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

*

*

Chọn A.

Ví dụ 2.6:Tìm m để hàm số

*
nghịch biến trên
*
.

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

Ta có

*

Hàm số nghịch biến trên

*
*
.

Chọn D.

Ví dụ 2.7:Tìm để hàm số

*
đồng biến trên
*
?

A.

*
B.
*
.

Ta có

*

Hàm số đồng biến trên

*
*
. (*)


Nếu
*
thì
*
0,\forall x\in \mathbb{R}" />, suy ra
*
thỏa mãn.
Nếu
*
0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}" />thì:

*
.

Xem thêm: Tính Thể Tích Khối Bát Diện Đều Cạnh A, Thể Tích Của Khối Tứ Diện Đều Cạnh A Bằng


Hàm phân thức bậc nhất
*

Hàm bậc ba
*
*

Nếu hàm số
*
liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên khoảng
*
thì phương trình
*
(trên khoảng
*
) có không quá một nghiệm và
*
.