Home / / phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Lớp 11

  admin  -     01/06/2021   186
Các dạng tân oán phương trình lượng giác, phương thức giải cùng bài xích tập từ bỏ cơ bản cho cải thiện - toán lớp 11

Sau lúc làm quen thuộc cùng với các hàm vị giác thì những dạng bài tập về pmùi hương trình lượng giác đó là nội dung tiếp theo sau cơ mà những em đang học tập trong công tác toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11


Vậy phương thơm trình lượng giác bao gồm các dạng toán thù làm sao, phương thức giải ra sao? bọn họ thuộc khám phá qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các cách thức giải này để triển khai các bài tập trường đoản cú cơ bản cho nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Lý tmáu về Pmùi hương trình lượng giác

1. Phương thơm trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương thơm trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong những cung thỏa sinα = a, khi ấy pmùi hương trình (1) bao gồm các nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 với x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

*
 với sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi kia các nghiệm của phương thơm trình (1) là:

 x = arcsimãng cầu + k2π, ()

 và x = π - arcsimãng cầu + k2π, ()

- Phương thơm trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương thơm trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong những cung thỏa cosα = a, khi ấy phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. lúc đó những nghiệm của phương thơm trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Pmùi hương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Pmùi hương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, tốt điều kiện của pmùi hương trình (3) là: 

*

- Nếu α vừa lòng ĐK

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu ĐK

*

II. Các dạng toán về Phương thơm trình lượng giác và phương thức giải

° Dạng 1: Giải pmùi hương trình lượng giác cơ bản

* Pmùi hương pháp

- Dùng các cách làm nghiệm tương xứng với từng phương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương thơm trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy ví dụ như 2: Giải những pmùi hương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một trong những pmùi hương trình lượng giác gửi được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức biến đổi để mang về phương thơm trình lượng giác đang mang lại về pmùi hương trình cơ bạn dạng như Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ Với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* Lưu ý: Bài toán thù trên áp dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* lấy ví dụ như 2: Giải các phương thơm trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* Lưu ý: Bài toán thù vận dụng bí quyết biến hóa tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy một ví dụ 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán thù bên trên có áp dụng bí quyết chuyển đổi tổng kết quả với cách làm nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình hàng đầu bao gồm một hàm con số giác

* Pmùi hương pháp

- Đưa về dạng pmùi hương trình cơ bạn dạng, ví dụ: 

* lấy ví dụ 1: Giải những pmùi hương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc nhì có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn prúc t, rồi giải pmùi hương trình bậc nhị đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta gồm pmùi hương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Lúc đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì bắt buộc gồm điều kiện: -1≤t≤1

* ví dụ như 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1 

*

+ Với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -50%.

Xem thêm: Viết Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 1 Điểm Và Vuông Góc Với Đường Thẳng

+ t = 3/2 >1 đề xuất loại

+ 

*
*
 
*

* Crúc ý: Đối với phương thơm trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Pmùi hương phdẫn giải nhỏng sau:

 - Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương thơm trình vị a≠0,

 Chia 2 vế mang lại cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - Nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta cố kỉnh d = d.sin2x + d.cos2x, và rút ít gọn gàng đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Pmùi hương pháp

◊ Cách 1: Chia nhì vế pmùi hương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì pmùi hương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng cách làm sinx với cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) tất cả nghiệm Lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các pmùi hương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 lúc đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán thù áp dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương thơm trình đối xứng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Hướng Dẫn Giải Bài Tập Hóa 8 Sgk Bài 2 Trang 35 Sách Giáo Khoa

* Phương thơm pháp

- Đặt t = sinx + cosx, Lúc đó:  chũm vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý: 

*
 phải ĐK của t là: 

- Do kia sau khi tìm kiếm được nghiệm của PT (*) phải đánh giá (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương thơm trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa phải là PT dạng đối xứng cơ mà cũng hoàn toàn có thể giải bằng phương pháp tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương thơm trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   núm vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

- Đặt t = sinx + cosx, , Khi đó:   nắm vào phương thơm trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ Với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. những bài tập về các dạng toán thù Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Với hầu như quý giá nào của x thì cực hiếm của những hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những pmùi hương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT có nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến phía trên ta phải so sánh cùng với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT gồm chúng ta nghiệm là 

*

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải pmùi hương trình: sin2x – sinx = 0 

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT có tập nghiệm 

*

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải các pmùi hương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0

Follow Us

Có gì mới

Trending