CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO

CHUYÊN ĐỀ

CÁC PHƯƠNG PHÁP. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I. CÁC PHƯƠNG PHÁPhường. CƠ BẢN

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

– Tìm nhân tử bình thường là các 1-1, nhiều thức có mặt trong toàn bộ các hạng tử.

Bạn đang xem: Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

– Phân tích từng hạng tử các thành tích của nhân tử phổ biến cùng một nhân tử không giống.

–Viết nhân tử phổ biến ra phía bên ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn sót lại của từng hạng tử vào trong vệt ngoặc (kể cả dấu của chúng).

Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)

2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)

xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)

2. Phương pháp cần sử dụng hằng đẳng thức

- Dùng những hằng đẳng thức kỷ niệm nhằm so sánh đa thức thành nhân tử.

- Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.

lấy ví dụ 2. Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.

9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)

8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2  + 9a2b4)

25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2

3. Phương thơm pháp team các hạng tử

– Kết vừa lòng các hạng tử tương thích thành từng team.

– Áp dụng liên tục những phương pháp đặt nhân tử chung hoặc sử dụng hằng đẳng thức.

lấy một ví dụ 3. Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử

2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)

= ( x2 + 1)( 2x – 3)

x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

4. Păn năn đúng theo các phương pháp

- Chọn các phương thức theo sản phẩm từ bỏ ưu tiên.

- Đặt nhân tử tầm thường.

- Dùng hằng đẳng thức.

- Nhóm các hạng tử.

lấy ví dụ như 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2

 3x3y – 6x2y – 3xy3  – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =

= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)

= 3xy<( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)>

= 3xy<(x – 1)2 – (y + a)2>

= 3xy<(x – 1) – (y + a)><(x – 1) + (y + a)>

= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)

 

II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

1. Đối với nhiều thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)

a) Cách 1 (bóc tách hạng tử bậc nhất bx):

Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của nhì quá số nguim bằng số đông cách.

a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …

Cách 2: Chọn nhị thừa số bao gồm tổng bằng b, chẳng hạn lựa chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci

Cách 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó đội nhì số hạng thích hợp nhằm so với tiếp.

lấy ví dụ 5. Phân tích nhiều thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.

Hướng dẫn

- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)

- Tích của nhì vượt số bao gồm tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).

- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)

Lời giải

3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)

= (x + 2)(3x +2)

b) Cách 2 (tách hạng tử bậc nhị ax2)

- Làm lộ diện hiệu nhị bình pmùi hương :

f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)

= (x + 2)(3x + 2)

- Tách thành 4 số hạng rồi team :

f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(3x + 2)

f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)

c) Cách 3 (tách hạng tử tự do thoải mái c)

- Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành nhì nhóm:

f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)

d) Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng)

f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)

f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2)

e) Cách 5 (nhđộ ẩm nghiệm): Xem phần 2.

Chụ ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c bao gồm dạng A2 ± 2AB + c thì ta bóc tách nhỏng sau :

f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)

lấy một ví dụ 6. Phân tích nhiều thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhân tử.

Hướng dẫn

Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đó ta đề xuất thêm và sút 12 = 1 để xuất hiện thêm hằng đẳng thức.

Lời giải

f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)

lấy ví dụ như 7. Phân tích nhiều thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử.

Lời giải

Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)

= (3x – 1)(3x + 5)

Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – 9 = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)

2. Đối với đa thức bậc từ 3 trngơi nghỉ lên

Trước hết, ta để ý mang lại một định lí quan trọng sau :

Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Lúc đó, f(x) tất cả một nhân tử là x – a với f(x) rất có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)

Lúc đó tách bóc những số hạng của f(x) thành những nhóm, mỗi đội phần nhiều đựng nhân tử là x – a. Cũng cần để ý rằng, nghiệm nguyên ổn của nhiều thức, nếu có, bắt buộc là 1 trong ước của thông số tự do.

Thật vậy, trả sử đa thức nguim, tất cả nghiệm nguim x = a. Thế thì :

, trong các số đó là những số nguyên ổn. Hạng tử bậc tốt độc nhất vô nhị ngơi nghỉ vế đề nghị là – ab0, hạng tử bậc phải chăng độc nhất vô nhị làm việc vế trái là a0. Do kia – ab0 = a0, suy ra a là ước của a0.

lấy một ví dụ 8. Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử.

Lời giải

Lần lượt chất vấn với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, cho nên nó đựng một nhân tử là x + 2. Từ kia, ta bóc tách nlỗi sau

Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)

= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).

Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2).

Từ định lí trên, ta bao gồm những hệ quả sau :

Hệ trái 1. Nếu f(x) gồm tổng các thông số bằng 0 thì f(x) tất cả một nghiệm là x = 1. Từ đó f(x) tất cả một nhân tử là x – 1.

Chẳng hạn, nhiều thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 buộc phải x = một là một nghiệm của nhiều thức. Đa thức bao gồm một nhân tử là x – 1. Ta so với như sau :

f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)

= (x – 1)( x – 2)2

Hệ trái 2. Nếu f(x) gồm tổng những thông số của những luỹ vượt bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các luỹ vượt bậc lẻ thì f(x) gồm một nghiệm x = –1. Từ kia f(x) có một nhân tử là x + 1.

Chẳng hạn, nhiều thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có một + 3 = –5 + 9 yêu cầu x = –một là một nghiệm của đa thức. Đa thức gồm một nhân tử là x + 1. Ta phân tích nlỗi sau :

f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)

= (x + 1)( x – 3)2

 Hệ quả 3. Nếu f(x) gồm nghiệm nguyên ổn x = a cùng f(1) và f(–1) không giống 0 thì cùng những là số nguyên ổn.

Chứng minh

Đa thức f(x) bao gồm nghiệm x = a nên f(x) bao gồm một nhân tử là x – a. Do kia f(x) tất cả dạng :

f(x) = (x – a).q(x) (1)

Ttốt x = 1 vào (1), ta tất cả : f(1) = (1 – a).q(1).

Do f(1) ≠ 0 yêu cầu a ≠ 1, suy ra q(1) = . Vì các hệ số của f(x) ngulặng bắt buộc những hệ số của q(x) cũng nguim. Do kia, q(1) là số nguyên ổn. Vậy là số nguyên ổn.

Thay x = –1 vào (1) cùng minh chứng giống như ta có là số ngulặng.

ví dụ như 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.

Hướng dẫn

Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.

f(1) = –18, f(–1) = –44, buộc phải ± 1 không hẳn là nghiệm của f(x).

Dễ thấy ,, , không là số nguyên ổn nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 cùng 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do kia, ta bóc các hạng tử như sau :

 

= (x – 3)(4x2 – x + 6)

Hệ trái 4. Nếu f(x) = (là những số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , trong đó p, q Î Z cùng (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an .

Chứng minh

Ta thấy f(x) bao gồm nghiệm x = vì thế nó gồm một nhân tử là (qx – p). Vì các thông số của f(x) phần lớn nguyên ổn nên f(x) gồm dạng: f(x) = (qx – p)

Đồng độc nhất vô nhị nhị vế ta được qbn–1 = an , –pb0 = ao. Từ kia suy ra p là ước của a0, còn q là ước dương của an (đpcm).

Ví dụ 10. Phân tích nhiều thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.

Hướng dẫn

Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy những số này không là nghiệm của f(x). Vậy nên f(x) không có nghiệm nghulặng. Xét những số , ta thấy là nghiệm của nhiều thức, vì thế nhiều thức gồm một nhân tử là 3x – 1. Ta đối chiếu nhỏng sau :

f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).

Xem thêm: Toán 12 Bài 1: Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số Lớp 12, Giải Toán 12 Bài 1

3. Đối cùng với đa thức nhiều biến

lấy ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;

b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).

Hướng dẫn

a) Phân tích đa thức này như là như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.

Ta tách hạng tử thứ 2 :

2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)

= (x - 2y)(2x - y)

a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ nhì của nhiều thức :

x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =

= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)

= (x - y)(y - z)(x - z)

Chú ý :

1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))

2) Đa thức ở câu b) là một vào những đa thức có dạng đa thức nổi bật. Khi ta nạm x = y (y = z hoặc z = x) vào nhiều thức thì giá trị của nhiều thức bằng 0. Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách nlỗi bên trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét quý hiếm riêng biệt (Xem phần IV).

III. PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

Thêm và bớt và một hạng tử làm xuất hiện thêm hiệu nhị bình ph­ương

lấy ví dụ như 12. Phân tích nhiều thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử

Lời giải

Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)

= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).

ví dụ như 13. Phân tích nhiều thức x4 + 16 thành nhân tử

Lời giải

Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)

= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

Thêm với giảm và một hạng tử làm xuất hiện thêm nhân tử chung

Ví dụ 14. Phân tích nhiều thức x5 + x - 1 thành nhân tử

Lời giải

Cách 1.

x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1

 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)

 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).

Cách 2. Thêm và bớt x2 :

x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)

 = (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).

ví dụ như 15. Phân tích nhiều thức x7 + x + 1 thành nhân tử

Lời giải

x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)

= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)

= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2  - x + 1)

Lưu ý : Các nhiều thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa nhân tử là x2 + x + 1.

IV. PHƯƠNG PHÁPhường. ĐỔI BIẾN

Đặt ẩn prúc để đưa về dạng tam thức bậc nhì rồi áp dụng các cách thức cơ bạn dạng.

lấy ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Lời giải

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128

Đặt x2 + 10x + 12 = y, nhiều thức đã đến có dạng :

(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)

= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)

Nhận xét: Nhờ phương thức thay đổi biến ta đang chuyển đa thức bậc 4 so với x thành đa thức bậc 2 đối với y.

lấy một ví dụ 17. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.

Lời giải

Cách 1. Giả sử x ≠ 0. Ta viết nhiều thức dưới dạng :

.

Đặt thì . Do đó :

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2

= = (x2 + 3x - 1)2.

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.

Cách 2. A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1)

= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.

IV. PHƯƠNG PHÁP.. HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

lấy một ví dụ 18. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3

Lời giải

Thử với x= ±1; ±3 ko là nghiệm của đa thức, nhiều thức không có nghiệm ngulặng cũng ko có nghiệm hữu tỷ. Như vậy nhiều thức trên phân tích được thành nhân tử thì bắt buộc cú dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd

= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.

Đồng nhất các hệ số ta được :

 

Xét bd= 3 với b, d Î Z, b Î ± 1, ± 3. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện bên trên trở thành

 Þ 2c = -14 - (-6) = -8. Do đó c = -4, a = -2.

Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1).

IV. PHƯƠNG PHÁP. XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

Trong pmùi hương pháp này, trcầu hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các quý hiếm cụ thể để xác định các nhân tử còn lại.

lấy ví dụ như 19. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

P. = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).

Lời giải

Ttốt x vì chưng y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0. bởi vậy Phường chứa thừa số (x – y).

Ta thấy ví như cầm x do y, nỗ lực y vì z, vắt z vị x thì p không đổi (đa thức P rất có thể hoán vị vòng quanh). Do kia trường hợp P.. đã chứa quá số (x – y) thì cũng đựng quá số (y – z), (z – x). Vậy P tất cả dạng k(x – y)(y – z)(z – x).

Ta thấy k cần là hằng số vị P có bậc 3 so với tập hợp các đổi mới x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có thể có bậc 3 so với tập hợp các đổi thay x, y, z.

Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với tất cả x, y, z đề xuất ta gán cho các biến đổi x ,y, z các quý hiếm riêng rẽ, ví dụ điển hình x = 2, y = 1, z = 0 ta được:

4.1 + 1.(–2) + 0 = k.1.1.(–2) suy ra k =1

Vậy P. = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)

V. PHƯƠNG PHÁPhường. ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT

1. Đưa về nhiều thức : a3 + b3 + c3- 3abc

Ví dụ 20. Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử :

a) a3 + b3 + c3 - 3abc.

b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3.

Lời giải

a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc

= <(a + b)3 + c3> - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)<(a + b)2 - (a + b)c + c2> - 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)

b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c. Theo câu a) ta có :

a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.

Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

2. Đưa về nhiều thức : (a + b + c)3- a3- b3- c3

Ví dụ 21. Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử :

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.

b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3.

Lời giải

a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = <(a + b) + c>3 - a3 - b3 - c3

= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3

= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a+ b)(a2 - ab + b2)

= (a + b)<(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)>

= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)

= 3(a + b)(b + c)(c + a).

b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c). Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)

 

BÀI TẬP

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) (ab - 1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; c) x3 - 4x2 + 12x - 27 ;

d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ; e) x4 - 2x3 + 2x - 1.

Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử :

a) x2 - 2x - 4y2 - 4y ; b) x4 + 2x3 - 4x - 4 ;

c) x2(1 - x2) - 4 - 4x2 ; d) (1 + 2x)(1 - 2x) - x(x + 2)(x - 2) ;

e) x2 + y2 - x2y2 + xy - x - y.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ;

b) (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc ;

c) c(a + 2b)3 - b(2a + b)3.

Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử :

a) xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) ;

b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ;

c) (x + y)(x2 - y2) + (y + z)(y2 - z2) + (z + x)(z2 - x2) ;

d) x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y) ;

e) x3(z - y2) + y3(x - z2) + z3(y - z2) + xyz(xyz - 1).

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) a(b + c)2(b - c) + b(c + a)2(c - a) + c(a + b)2(a - b)

b) a(b - c)3 + b(c - a)3 + c(a - b)2 ;

c) a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + c2a2(c - a) ;

d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) - 2abc - a3 - b3 - c3 ;

e) a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b).

Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử :

a) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 ;

b) abc - (ab + bc + ca) + a + b + c - 1.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 16) :

a) 6x2 – 11x + 3 ; b) 2x2 + 3x – 27 ; c) x2 – 10x + 24 ;

d) 49x2 + 28x – 5 ; e) 2x2 – 5xy – 3y2.

a) x3 – 2x + 3 ; b) x3 + 7x – 6 ; c) x3 – 5x + 8x – 4 ;

d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – 2 ;

h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – 6 (giải bởi nhiều cách).

a) 27x3 + 27x +18x + 4 ; b) 2x3 + x2 +5x + 3 ; c) (x2 – 3)2 + 16.10. a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15 ; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 ;

 c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 ;

11. a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ;

 b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ;

 c) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.

12. (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc bằng cách đổi biến : để a + b = m và a - b = n.13. a) 4x4 - 32x2 + 1 ; b) x6 + 27 ;

 c) 3(x4 + x+2+ + 1) - (x2 + x + 1)2 ; d) (2x2 - 4)2 + 9.

14. a) 4x4 + 1 ; b) 4x4 + y4 ; c) x4 + 324.15. a) x5 + x4 + 1 ; b) x5 + x + 1 ; c) x8 + x7 + 1 ;

 d) x5 - x4 - 1 ; e) x7 + x5 + 1 ; g) x8 + x4 + 1.

16. a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 ; b) x3 + 3xy + y3 - 1.17. Dùng phương pháp hệ số bất định :

a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 ;

c) x4 - 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.

18. a) x8 + 14x4 + 1 ; b) x8 + 98x4 + 1.19. Dùng pmùi hương pháp xét quý giá riêng biệt :

M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).

trăng tròn. Chứng minc rằng trong cha số a, b, c, mãi mãi hai số bằng nhau, nếu :

a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)

21. Chứng minc rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.22. Chứng minc rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d.23. Chứng minc rằng nếu m = a + b + c thì :

(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.

24. Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minch rằng ab + cd = 0.25. Chứng minch rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thì :

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3.

Xem thêm: Sinh Học 8 Bài 13 Máu Và Môi Trường Trong Cơ Thể, Sinh Học 8 Bài 13: Máu Và Môi Trường Trong Cơ Thể

26. Tính các tổng sau :

a) S1 = 1 + 2 + 3 + … + n ;

b) S2 = 12 + 22 + 32 + … + n2.