Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác
Bài viết trình bày không thiếu thốn các hệ thức lượng vào tam giác cùng một số dạng toán liên quan, trong những dạng tân oán, nội dung bài viết gợi ý chi tiết phương pháp giải tân oán, các ví dụ minch họa với bài bác tập tự luyện kèm theo.
Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ tất cả $a$, $b$, $c$ theo lần lượt là độ dài tía cạnh đối diện cùng với tía góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.
1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).3. Độ nhiều năm mặt đường trung đường của tam giác: hotline $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ lâu năm các con đường trung tuyến lần lượt vẽ từ bỏ các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Các cách làm tính diện tích S tam giác: điện thoại tư vấn $R$, $r$ theo thứ tự là bán kính mặt đường tròn ngoại tiếp, mặt đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ và $S$ là diện tích của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = quảng cáo.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (bí quyết Hê-rông).
B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCDạng 1: Tính một vài nguyên tố vào tam giác theo một số yếu tố đến trước (trong các số đó bao gồm tối thiểu một cạnh). Giải tam giác.Phương thơm pháp:+ Sử dụng định lí cosin và định lí sin.+ Tính toán thù các yếu tố trung gian (trước khi tính nguyên tố yêu cầu tìm) bằng những hệ thức lượng vào tam giác thích hợp.Crúc ý: Quý khách hàng đọc hãy ôn tập lại những hệ thức lượng vào tam giác vuông (đang học tập sinh hoạt lớp 9).
Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$ bao gồm $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính các cạnh với góc còn lại của tam giác.b) Tính diện tích của tam giác.c) Tính đường cao $h_a$ vẽ từ bỏ $A$ của tam giác.
Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do đó $widehat B approx 51^0 41′ .$lúc đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$
Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ bao gồm $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính những cạnh và các góc còn lại của tam giác.b) Tính nửa đường kính $R$ của con đường tròn ngoại tiếp tam giác.
a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0
ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray
ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray
ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray
ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta áp dụng định lí cosin lúc biết $2$ cạnh với góc xen giữa $2$ cạnh đó.– Ta sử dụng định lí sin khi biết:+ $1$ cạnh cùng góc đối diện cạnh đó.+ $1$ cạnh cùng $2$ góc kề cùng với nó (hôm nay ta và tính được góc đối diện cạnh đó).– Việc tra cứu những nguyên tố của tam giác lúc biết các nguyên tố khác còn được gọi là giải tam giác.
Xem thêm: Học Tốt Ngữ Văn 9 Tổng Kết Từ Vựng Tiếp Theo ), Tổng Kết Về Từ Vựng (Tiếp Theo)
Bài tân oán 3: Cho tam giác $ABC$ tất cả $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $centimet.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích S của tam giác.
Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow chảy C = ung 66^0 53′ approx 2,34.$
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan cho tới những nhân tố vào tam giác. Phương pháp: Sử dụng những hệ thức lượng đã bao gồm và các tính chất, các nhân tố vào tam giác để chứng minh.
Bài toán: Cho tam giác $ABC$ bao gồm những cạnh $a$, $b$, $c$, các con đường cao tương xứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ Chứng minh:a) $r = (p – a) chảy fracA2$ $ = (p – b) chảy fracB2$ $ = (p – c) ã fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$
Ta có: $r = IE = AE. ung fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = p – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) ã fracA2.$Tương trường đoản cú ta minh chứng được: $r = (p – b) ung fracB2$ $ = (p – c) ung fracC2.$b) Dựa vào phương pháp tính diện tích tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$
Dạng 3: Nhận dạng tam giác.Phương thơm pháp: Sử dụng những hệ thức lượng trong tam giác và những đặc thù của những tam giác sệt biệt: tam giác vuông, tam giác cân nặng, tam giác đều.Crúc ý:+ Nếu $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông trên $A.$+ Nếu $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A.$+ Nếu $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ số đông.
Bài tân oán 1: Xác định hình của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$
Theo công thức Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$
Bài toán 2: Tam giác $ABC$ gồm những góc với những cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác cân nặng.
Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân nặng trên $C.$
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính các góc, những cạnh còn lại, con đường cao $h_a$ cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134centimet.$
Bài toán thù 2: điện thoại tư vấn $m_a$, $m_b$, $m_c$ là những trung con đường ứng với những cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6centimet.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$
Bài toán thù 3: Gọi $I$, $J$ theo thứ tự là trung điểm của những con đường chéo cánh $AC$, $BD$ của tđọng giác $ABCD$, hội chứng minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) Xác định bí quyết tính con đường chéo cánh $d$ của hình thang cân biết lòng bé dại là $a$, lòng béo là $b$ với bên cạnh là $c.$
Bài toán 4: Chứng minc tập các điểm nhưng mà tổng những bình phương khoảng cách mang đến $2$ điểm cố định $A$, $B$ cho trước bởi một trong những ko đổi $k^2$ là 1 trong con đường tròn.
Bài toán thù 5: Cho tam giác $ABC$, chứng minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$
Bài toán 6: hotline $r_a$, $r_b$, $r_c$ thứu tự là nửa đường kính đường tròn bàng tiếp nằm trong cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Chứng minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p ung fracA2 ung fracB2chảy fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (bí quyết Stây-nơ).
Xem thêm: Những Bức Tranh Về Đề Tài Bộ Đội, Tranh Vẽ Chú Bộ Đội
Bài toán 7: Cho tam giác $ABC$, triệu chứng minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$
Bài toán thù 8: Cho tam giác $ABC$, hội chứng minh:a) Nếu $m_a = c$ thì $ an B = 3chảy C.$b) Nếu $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$
Bài toán 9: Chứng minch ĐK phải cùng đầy đủ nhằm tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$
Bài toán thù 10: Xác định dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = pchảy fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = fracchảy Bchảy C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$
Bài toán 11: Chứng minch rằng nếu như $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ hồ hết.
