Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Lớp 10 Có Lời Giải

Ôn tập lại triết lý và lí giải cách giải những dạng tân oán về hệ thức lượng vào tam giác ngơi nghỉ lớp 10 qua các ví dụ tất cả lời giải cụ thể.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 có lời giải

Chúng ta nên lưu giữ những công thức cùng định lý trước khi vận dụng vào giải bài bác tập.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ cùng với $BC = a$, $AC = b$ với $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$

Áp dụng bí quyết mặt đường trung tuyến đường với tam giác $ABC$ với $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ Từ $(1)$ với $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ Mặt khác $EF$ là con đường trung tuyến tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$

3. BÀI TẬPhường LUYỆN TẬPhường. Bài 1: Chứng minc rằng trong mọi tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). c) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). d) Áp dụng phương pháp con đường trung con đường. e) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ đó suy ra điều đề nghị chứng minh.

Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$

a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.

Xem thêm: Điều Kiện Xuất Hiện Dòng Điện Cảm Ứng, Trong Cuộn Dây Dẫn Kín Là Gì

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $a^4 = b^4 + c^4.$ Chứng minc rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. b) $2sin ^2A = ã B an C.$

a) Dễ thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là lớn nhất. Và $a^4 = b^4 + c^4 Mặt không giống theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ Do đó $widehat A b) $2sin ^2A = an B ung C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$

Bài 4: Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC.$ Chứng minc rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$

a) Ta có $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$

Bài 5: Cho tứ giác lồi $ABCD$, gọi $altrộn $ là góc hòa hợp vì chưng hai tuyến phố chéo $AC$ cùng $BD.$ Chứng minch diện tích $S$ của tứ đọng giác mang lại bởi vì công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$

Điện thoại tư vấn $I$ là giao điểm hai tuyến phố chéo. lúc đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta gồm các góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ và $widehat DIA$ đôi một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin altrộn .$ Do đó $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin altrộn .$

DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

1. PHƯƠNG PHÁPhường GIẢI

Sử dụng định lí côsin, định lí sin, bí quyết mặt đường trung con đường, cách làm tính diện tích tam giác để thay đổi mang thiết về hệ thức contact cạnh (hoặc góc) từ bỏ kia suy ra dạng của tam giác.

2. CÁC VÍ DỤ

lấy ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ tán đồng $sin C = 2sin Bcos A.$ Chứng minc rằng tam giác $ABC$ cân nặng.

Áp dụng định lí côsin và sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân trên đỉnh $C.$

lấy ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ hài lòng $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ Chứng minch rằng tam giác $ABC$ vuông.

Xem thêm: Tính Chất Của Trực Tâm Trong Tam Giác ), Đường Cao (Tam Giác)

Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông trên $A.$

Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác $ABC$ trong số ngôi trường đúng theo sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$

a) Áp dụng cách làm diện tích ta bao gồm $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. b) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân nặng trên $C.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minch tam giác $ABC$ cân nếu như $h_a = csin A.$

Sử dụng phương pháp $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân nặng trên $C.$

Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu như $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$

Sử dụng bí quyết con đường trung tuyến đường và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$

Bài 3: Chứng minh rằng tam giác $ABC$ phần đông Khi và chỉ còn khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$

Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ Dấu bằng xảy ra Khi và chỉ Khi $a = b = c$ tuyệt tam giác $ABC$ gần như.

Bài 4: Cho tam giác $ABC.$ Tìm góc $A$ vào tam giác biết những cạnh $a$, $b$, $c$ ưng ý hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$

$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$